註釋
在數學中，一個函數是描述每個輸入值對應唯一輸出值的這種對應關係，符號為 。在英文中讀作f of x，但在中文中則常讀作f x。其中x為自變量, 為因變量（或稱應變量）。包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。
函數有多種方法來表示。如解析法（就是用數學表達式表達兩個變量之間的對應關係），圖像法（就是用圖像/坐標系表達兩個變量之間的對應關係），列表法（就是用表格表達兩個變量之間的對應關係）
例如，表達式 表示了一個函數 ，其中每個輸入值 都與唯一輸出值 2相聯繫。因此，如果一個輸入值為3，那麼它所對應的輸出值為9。一旦一個函數 被定義，例如，就可以被寫為 。
在數學中，用像 這樣臨時的名字來表述函數是一個不常見的操作；在下一段中我們也許會定義 ，那麼 。當不需要函數名稱的時候，我們經常使用 這樣的格式。
一個函數的基本特質是，對於每一個輸入值都有唯一輸出值與其對應。因此，例如， 表示 的平方根為
它並不被定義為一個函數，因為它可能含有兩個輸出值。例如，9的平方根是3和-3。要將一個平方根定義為一個函數，必須明確地選擇一個平方根。定義
表示 的正平方根為
亦即對於任何非負輸入值，選擇其非負平方根作為函數值。
函數並不一定與數字有關。例如，指定每個國家當前的首都，那麼，在這個函數裡，
。
一個更精確，但是仍然非正式的定義如下。令A和B為兩個非空集合。在一個從A到B的函數中，對於A每個元素x，B中都有一個被限定的唯一元素y與其對應。集合A被稱為函數的定義域，而集合B被稱為函數的陪域。
在一些文章--比如lambda演算--的觀念中，函數可能被認為是原始的、結構不全面、不完整的，而不是被完善的理論所定義的。
在更廣的數學領域內，術語對應、映射、變換通常是函數的同義詞或近義詞。無論如何在一些文章中它們也許會被定義為更多的專業含義。例如，在拓撲里一個對應關係有時被定義成一個連續函數。
簡而言之，函數是將唯一的輸出值賦予每一輸入的「法則」以及該輸出值與對應輸入值的集合。這一「法則」可以用函數表達式、數學關係，或者一個將輸入值與輸出值對應列出的簡單表格來表示。函數最重要的性質是其決定性，即同一輸入總是對應同一輸出（注意，反之未必成立）。從這種視角，可以將函數看作「機器」或者「黑箱」，它將有效的輸入值變換為唯一的輸出值。通常將輸入值稱作函數的參數，將輸出值稱作函數的值。
" 最常見的函數的參數和函數值都是數，其對應關係用函數式表示，函數值可以通過直接將參數值代入函數式得到。如下例，
, 的平方，即是函數值。
" 也可以將函數很簡單的推廣到與多個參量相關的情況。例如：
有兩個參量 和 ，以乘積 為值。與前面不同，這一「法則」與兩個輸入相關。其實，可以將這兩個輸入看作一個有序對 ，記g 為以這個有序對 作參數的函數，這個函數的值是 。
" 科學研究中經常出現未知或不能給出表達式的函數。例如地球上不同時刻溫度的分佈，這一函數以地點和時間為參量，以某一地點、某一時刻的溫度作為輸出。
" 函數的概念並不局限於數的計算，甚至也不局限於計算。函數的數學概念更為寬泛，而且不僅僅包括數之間的映射關係。函數將「定義域」（輸入集）與「對映域」（可能輸出集）聯繫起來，使得定義域的每一個元素都唯一對應對映域中的一個元素。函數，如下文所述，被抽像定義為確定的數學關係。由於函數定義的一般性，函數概念對於幾乎所有的數學分支都是很基本的。
歷史
函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，以描述曲線的一個相關量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數。此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的「函數」一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數」。
" 1718年，約翰·伯努利（en:Johann Bernoulli）把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量。」
" 1748年，伯努利的學生歐拉（Leonhard Euler）在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式」。例如
" 1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」
" 19世紀的數學家開始對數學的各個分支作規範整理。維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，因而更趨向於歐拉的定義。
" 通過擴展函數的定義，數學家能夠對一些「奇怪」的數學對象進行研究，例如不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。
" 到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來規範數學。他們試圖將每一類數學對象定義為一個集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）給出了現代正式的函數定義（參見下文#正式定義）。狄利克雷的定義將函數視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。
